חישוב מרכז המסה של המערכת אופנים + רוכב

לצאת מהשיגרה חישוב מרכז המסה של המערכת אופנים + רוכב חזי יצחק, תיכון לחינוך סביבתי, מדרשת שדה בוקר, המכון לחקר המדבר, אוניברסיטת בן גוריון בנגב גל ברן, חברת גיאופן תקציר אנו מציעים שיטה חדשה לחישוב מרכז המסה של המערכת אופניים + רוכב על ידי מדידת הכוחות הנורמליים הפועלים על גלגלי האופניים בעזרת מאזניים דיגיטליים. מיקום מרכז המסה הוא גורם חשוב לרוכב האופניים המשפיע על טכניקת הרכיבה שלו ועל יכולתו לרכוב בתנאי שטח שונים והוא תלוי בגיאומטריית שלדת האופניים ובתנוחת הרוכב. רקע רכיבה באופני הרים וכביש הפכה לפופולארית מאד בעולם ובארץ. זהו אחד מענפי הספורט העממיים המלהיבים ביותר כיום ועוסקים בו מבוגרים וצעירים. רכיבה בשטח באופני הרים כוללת רכיבה בשיפועים תלולים וירידה ועלייה של מדרגות סלע כפי שמתואר בתצלום.1 כדי להצליח לעבור מכשולים אלו, על הרוכב לפתח מיומנות של העברת מרכז המסה על ידי שינוי תנוחת הרכיבה. בירידות תלולות יש להעביר את מרכז המסה לגלגל האחורי כדי שזה לא יאבד את אחיזתו בקרקע ובעליות תלולות יש לבצע את ההיפך. ללא שליטה זו במיקום מרכז המסה של המערכת רוכב - אופניים לא ניתן לטפס או לרדת בשיפועים תלולים. כך לדוגמה בהגיע רוכב שטח לעלייה תלולה, יישב על הקצה הקדמי של האוכף, תוך שמירה על מרפקים כפופים וחזה נמוך וזאת כדי להנמיך את מרכז המסה של המערכת ועל ידי כך למנוע מהגלגל הקדמי להתרומם מהשביל.1 בספרות העוסקת בפיסיקה של האופניים מרבים לצטט מרכז מסה של אופניים ורוכב סטנדרטיים של וויט ווילסון.2 עבור אופניים אלה הקואורדינטות של מרכז המסה הן xcm 0.432m.xCM, ycm נמדד מנקודת המגע של הגלגל האחורי עם הקרקע ו ycm 1.143m - ונמדד מעל הקרקע. השיטה בה חושב מרכז המסה אינה מפורטת, ולכן לא ניתן לבדוק כיצד מיקום מרכז המסה משתנה עבור גיאומטריות שונות של שלדות או סוגים שונים של אופניים. תצלום :1 תרגול במעבר מכשול (a). בעליית מדרגה הרוכב מעביר את משקל גופו קדימה ולכן מרכז המסה עובר לכיוון הגלגל הקדמי ומאפשר לו שליטה בהיגוי. לעומת זאת בירידת מדרגה ) (b הרוכב יושב מעבר לאוכף מעל הגלגל האחורי, כך שמרכז המסה שלו מוזז אחורה ועל ידי כך הוא מונע את התהפכות האופניים 38 "תהודה", כרך,27 חוברת מס' 1

α CM α R CM 0 mg N 2 N 2α β α x 0α x 0 L 0α h 0 h α r בלימודי הפיסיקה בתיכון, לומד התלמיד בדרך כלל לחשב את מרכז המסה עבור גופים אחידים ובעלי סימטריה. השיטה המוצעת במאמר זה, ניתנת לביצוע באמצעים פשוטים מאד ומאפשרת לחשב את מרכז המסה של מערכת מורכבת יותר. השיטה תאפשר הבנה טובה יותר של מצבי רכיבה שונים המוכרים לתלמידים העוסקים בספורט הרכיבה. עבור שאר התלמידים זוהי הזדמנות טובה להכיר לעומק מערכת נפוצה שמרבים להשתמש בה בחיי היום-יום, אך בדרך כלל לא חושבים על השיקולים הפיסיקליים המעורבים בבניית האופניים וברכיבה. 3,4 39 L 0 תיאור השיטה השיטה מבוססת על מדידת הכוחות הנורמליים הפועלים על שני הגלגלים בשני מצבים. במצב הראשון האופניים+הרוכב נמצאים במצב אופקי ובמצב השני האופניים והרוכב מוטים בזווית a ביחס למישור האופקי כאשר הגלגלים מונחים על משטחים אופקיים. א. מצב אופקי: תחילה נגדיר מספר פרמטרים הקשורים לגיאומטריה של שלדת האופניים. נגדיר מערכת צירים שראשיתה במרכז L 0 הוא המרחק בין הגלגל האחורי, נסמן נקודה זו ב- 0. שני צירי הגלגלים או הקואורדינטה x של ציר הגלגל הקדמי והוא ניתן למדידה באמצעות סרט מדידה פשוט, x 0 הוא המרחק האופקי בין ציר הגלגל האחורי לאנך ו- h 0 המורד ממרכז המסה של האופניים שנמצא בגובה N 2 הם הכוחות ו- מעל ציר ה- x )ראה איור 1(. הנורמליים הפועלים על הגלגל הקדמי והאחורי בהתאמה. במצב של שיווי משקל סכום המומנטים סביב נקודה 0 צריך להיות אפס. נוכל לרשום: L 0 mgx 0 (1) כאשר m היא המסה הכוללת של הרוכב והאופנים. מ- )1( נקבל: N1 mg L 0 (2) x. 0 כדי לחשב את נוכל לחשב את כלומר ממדידת h a נצטרך לבצע מדידה נוספת כאשר האופניים והרוכב מוטים בזווית a ביחס למישור האופקי. איור 1: הכוחות השונים הפועלים על האופניים במצב אופקי ובשיפוע. באיור מוגדרים הפרמטרים השונים של הבעיה. CM הוא מרכז המסה של האופניים עם הרוכב במצב אופקי CM a הוא מרכז המסה של האופניים בשיפוע ושני מרכזי ו- המסה נמצאים על מעגל שמרכזו בציר הגלגל האחורי ורדיוסו R. ב. אופניים ורוכב בזווית a: L 0a כמרחק האופקי בין האנכים המורדים נגדיר את למישור האופקי משני צירי הגלגלים )שים לב x 0a הוא המרחק האופקי של מרכז המסה.)L 0a < L 0 C.M a לבין ראשית הצירים. נסמן ב- R את המרחק המוזז בין ראשית הצירים למרכז המסה. מרחק זה לא משתנה כאשר האופניים מוטים )ראה תצלום 3( כלומר מרכז המסה החדש נע על פני מעגל שרדיוסו R ומרכזו בציר N 2a הם הכוחות הנורמליים a ו- הגלגל האחורי. הפועלים על הגלגל הקדמי והאחורי בהתאמה. בדומה לחישוב עבור המצב האופקי נוכל לרשום: N1 a a mg L 0a (3) נוכל לבטא את R באמצעות טריגונומטריה פשוטה מתוך שני המשולשים )ראה איור 2(: R (4) cos b a R cos ^a + b h כאשר b היא הזווית שיוצר R עם הציר האופקי. את b נחשב מפתרון המשוואה: a (5) cos^a+ bh cosb "תהודה", כרך 27, חוברת מס' 1

נשתמש בנוסחה הטריגונומטרית : cos(a + b) cosacosb - sinasinb ונקבל : x cos a - x tan b 0 x sina 0a ) (6 0 נוכל למצוא את הגובה של מרכז המסה h0 בעזרת : עץ שהונחו מתחת לגלגל הקדמי. כדי לקבל קריאה נכונה יש לתמוך ברוכב ולעזור לו להתייצב לזמן קצר ללא מגע ורק אז לקרוא את המשקל. מדידה זו דורשת מיומנות והיא המקור העיקרי לשגיאות במדידה. h0 tanb ) (7 אם נסמן את רדיוס גלגל האופניים ב r- נקבל שגובה מרכז המסה של המערכת מעל הקרקע.h h0 + r את תוצאה ) (6 נוכל לבטא באמצעות הכוחות הנורמליים. נשים לב שממשוואות ) (2 ו (3) - נוכל לקבל (N1 / mg) L0 : ו.a (N1a / mg) L0a - נציב ביטויים אלו במשוואה ) (6 ונקבל : N L0a ) (8 tan b cot a - La sin a 1a 0 שימוש בקשר הגיאומטרי L0a L0cosa ובמשוואה ) (7 יתן : ) L0 cota (N1 - N1a h0 ) (9 N1 L0 sina שתי הנוסחאות ) (7 ו (9) - מחייבות מדידות של הכוחות הנורמליים הפועלים על הגלגל הקדמי בשני המצבים וכן שתי מדידות גיאומטריות של המרחק האופקי בין צירי הגלגלים בשני המצבים. CMα R H כדי למדוד את L0a כדאי לקשור חוטים שבקצה שלהם מחוברת אבן או משקולת קטנה (ראה תצלום )3 המשמשות כעין אנכי בניין. CM β h0 hα r α תצלום :2 מדידת הכח הנורמלי הפועל על הגלגל האחורי במצב אופקי עבור אופני כביש. צריך להיעזר בקיר כדי להתייצב עם האופניים באופן עצמאי. יש להקפיד שהאופניים יהיו מאוזנים. r 0 α איור :2 מבט ממוקד על הגלגל האחורי. הזווית b היא הזווית בין הקו המחבר את מרכז המסה במצב האופקי עם ראשית הצירים (הנמצאת במרכז הגלגל האחורי) a. היא הזווית שבה האופניים הורמו ולכן הזווית של מרכז המסה עם הקו המחבר את CM a לראשית הצירים היא.a + b ביצוע הניסוי : השתמשנו במאזניים דיגיטליים שאותם הנחנו מתחת לגלגלי האופניים. כדי ליצור את השיפוע השתמשנו במדפי 40 "תהודה", כרך,27 חוברת מס' 1 תצלום :3 המערכת (אופני כביש) ללא רוכב בשיפוע. כדי למדוד את L0 a באופן מדויק, ניתן להשתמש באנכי בניין מאולתרים - אבנים הקשורות לחוט כמתואר בתצלום. החצים השחורים מצביעים על מיקום האבנים.

תוצאות: א. אופני כביש מדגם Specialized Allez שמסתם.10.3kg מסת הרוכב הייתה 76.1. kg m 87 kg, r 33. cm, L 0 המדידות מוצגות בטבלה הבאה כאשר המספרים שבסוגריים מציינים נתונים: 98 cm את השגיאה היחסית בניסוי. שגיאה זו נובעת מהקושי להישאר על האופניים ללא תמיכה וללא הפעלת כוח נוסף מלבד המשקל על המאזניים הדיגיטליים. אופני כביש (847 N) אופני הרים (879 N) גלגל קדמי N 2 גלגל אחורי + N 2 a גלגל קדמי N 2a גלגל אחורי a + N 2a 368 521 889 (5%) 177 700 877 (3.5%) 350 582 932 (6%) 168 746 914 (4%) לפי הנוסחאות הקודמות נקבל: x 0 41.45, cosa L a /L 0 0.939, sina 0.3444, h 58.78 cm.h h a ולכן:,H 58.78 + 33.5 92.28 cm כאשר + r ב. אופני הרים מדגם Specialized HR XC שמסתם 13.6. kg מסת הרוכב נותרה ללא שינוי.,m 89.7 kg, r 33.5 cm, L 0 המדידות מוצגות בטבלה לעיל. נתונים: 107.5 cm חישוב דומה יתן: H 39.01 + 33.5 72.51 cm ולכן: x 0 32.15, cosa L a /L 0 0.958, sina 0.3, h 39.01 cm המדידה של אופני ההרים מתוארת בתצלום 3. מהטבלה עולה שהשגיאה היחסית במדידות היא כ- 5% שזו שגיאה נסבלת. תצלום 4: מדידת הכוח הנורמלי הפועל על הגלגל האחורי במצב אופקי עבור אופני הרים. שים לב להבדלים בתנוחת הרוכב באופני הרים לעומת תנוחת הרוכב באופני הכביש )תצלום 2(. תנוחת הרכיבה באופני שטח היא זקופה יותר כדי לאפשר לרוכב שליטה טובה בהיגוי גם בתנאי שטח קשים. 41 "תהודה", כרך 27, חוברת מס' 1

מסקנות באמצעות מדידות פשוטות של הכוחות הנורמליים בעזרת מאזניים דיגיטליים הראינו כיצד ניתן לחשב את מיקום מרכז המסה של המערכת רוכב+אופניים ובדקנו זאת עבור אופני כביש ואופני הרים. ניתן לראות שבמצב אופקי משקל הרוכב מחולק באופן ש- 60% מונחים על הגלגל האחורי. לעומת זאת בשיפוע של 17 מונחים 80% ממשקל הרוכב על הגלגל האחורי ורק 20% על הקדמי ולכן יש סכנה שהגלגל הקדמי יאבד אחיזה עם השטח )בעייה הקיימת בעיקר עבור אופני הרים(. צריך לשים לב שמערכת הניסוי אינה מדמה מישור משופע אלא רק קירוב שלו. למרות זאת, ממדידות אלו ניתן לקבל מושג על חלוקת המשקל בין הגלגלים בשיפועים שונים. מרכז המסה של הרוכב באופני הרים נמוך ב- 20 ס מ לעומת אופני הכביש. בדרך כלל רוכבי השטח משנים את גובה האוכף במהלך הרכיבה, כך לדוגמה לפני ירידה תלולה הם מורידים את גובה האוכף כדי להוריד את מרכז המסה שלהם וכך הם מגדילים את יציבותם. בנוסף הם מעבירים את מרבית משקל גופם אל מעבר לאוכף באופן שהכח הנורמלי הפועל על הגלגל האחורי גדל ביחס לכח הנורמלי הפועל על הגלגל הקדמי ולכן כח החיכוך )חיכוך סטטי וחיכוך גלגול( הפועל עליו גדל וזה משפר את האחיזה של האופניים בשטח. בעליות הבעייה היא שהגלגל הקדמי מאבד אחיזה ולכן רוכבי השטח רוכנים קדימה ומעבירים את מרכז המסה שלהם לחלק הקדמי של x(, 0 אך בד בבד יש לשמור על כך האופניים )הגדלת שחלק מהמשקל יישאר על הגלגל האחורי כדי למנוע ממנו להתחפר במקום. השליטה במיקום מרכז המסה בהתאם לתנאי השטח היא חלק ניכר מהמיומנות הטכנית של רוכב האופניים הנרכשת עם הזמן. השיטה המוצעת מאפשרת לחקור שאלות נוספות כגון, תלות מיקום מרכז המסה בגובה האוכף, או תלות מיקום מרכז המסה במשקל הרוכב. מראי מקום 1. אופני הרים - המדריך לרוכבים רציניים, אן טרומבלי, מטר הוצאה לאור, תל אביב, עמ 2007. 42-43, 2. David Gordon Wilson, Bicycling Science, 3 rd ed., p.244, MIT Press, Cambridge, MA, 2004. 3. על אפשרויות נוספות ללימוד פיסיקה באמצעות רכיבה על אופניים ראה את המאמר: השפעת המסה על רוכב אופניים במורד, האם קיים יתרון לכבדים? מאת חזי יצחק וגיל ברן. תהודה (2)26, והאתר:.www.boker.org.il/pow.htm 4. מאמרים נוספים על הפיסיקה של האופניים ניתן למצוא בספר: The Physics of Sports, Ch.6, edited by Angelo Arment, Springer Verlag, New York 1992. תהודה 42 "תהודה", כרך 27, חוברת מס' 1